Математика умеет удивлять: формулы, которые описывают хаос молекул в воздухе, внезапно оказываются полезными для понимания человеческого выбора. Экономисты Омер Тамуз (Калифорнийский технологический институт) и Федор Сандомирский (Принстонский университет) представили новое строгое доказательство уникальности распределения Больцмана. Их работа связывает физику, экономику и машинное обучение в одну логическую конструкцию. Об этом сообщает журнал Mathematische Annalen.
Распределение Больцмана появилось в XIX веке как ответ на простую проблему: если невозможно отследить каждую частицу газа, нужно уметь описывать систему целиком. Вместо точных координат физики используют вероятности состояний, которые позволяют вычислять температуру, давление и другие свойства среды.
Этот подход оказался удивительно универсальным. Он применим везде, где много элементов ведут себя случайно, но подчиняются общей статистике. По сути, речь идёт о принципе: отдельное событие непредсказуемо, но массовая картина становится закономерной.
Именно поэтому распределение Больцмана часто рассматривают как фундаментальный механизм, который лежит в основе многих современных моделей, включая методы анализа данных и вероятностные вычисления.
Со временем похожая структура формулы появилась в экономике. Когда исследователь пытается предсказать выбор человека, например покупку телефона или бренда еды, он не строит точный прогноз, а оценивает вероятности каждого варианта. Для этого используется многомерная логистическая регрессия, известная также как мультиномиальная логит-модель.
Её принцип выглядит почти так же: каждому варианту присваивается "полезность", затем рассчитывается экспонента, а итоговые вероятности нормализуются, чтобы сумма всегда равнялась единице. Именно поэтому такие модели широко применяются в машинном обучении, где требуется выбирать один вариант из множества.
Подобные методы активно используются и в исследованиях мозга, где учёные пытаются описывать разные режимы мышления и реакции — например, когда белое вещество связало быстрые и медленные режимы работы мозга, показав роль внутренних связей в обработке информации.
Авторы поставили вопрос: почему модель должна игнорировать несвязанные решения? Если человек выбирает хлопья, это не должно математически зависеть от того, какое мыло он положил в корзину. Если подобные связи возникают, значит модель вводит ложные корреляции.
"Мы предпочитаем не отслеживать дополнительные, казалось бы, не имеющие отношения к делу варианты выбора, например, какое мыло покупатель выбрал в другом ряду", — объясняет Тамуз.
Именно независимость выборов стала центральным условием, которое и проверяли исследователи.
Учёные представили вероятности через многочлены и методично исключили все альтернативные подходы. В итоге оказалось, что только семейство распределений Больцмана проходит все математические условия без противоречий.
"Мы не знали, чего ожидать, когда начинали это. В конце концов, мы поняли, что это означает, что это должна быть теория Больцмана", — признается Сандомирский.
Это означает, что распределение Больцмана — не просто удобная модель, а единственно возможная структура, если система состоит из независимых элементов.
"Это пример того, как абстрактное математическое мышление может объединять различные области — в данном случае, связывая идеи из экономической теории с физикой", — подчеркивает Тамуз.
В результате физика получает новое подтверждение фундаментального закона, а экономика и машинное обучение — математически укреплённую основу для логит-моделей, которые используются при анализе решений и поведения.
Кстати, похожий принцип строгого подхода к моделям встречается и в климатической науке, где исследователи ищут точные статистические закономерности — например, когда геометрию талых прудов связали с ускорением таяния льда, чтобы улучшить прогнозы для Арктики.